5. Sınıf Kesirleri Karşılaştırma ve Sıralama Konu Anlatımı

Hangi Kesir Daha Büyük?

İki kesir verildiğinde hangisinin büyük olduğunu bulmak, ilk bakışta sayılara bakarak yapılabilecek bir iş gibi görünür. Ama kesirlerde durum böyle işlemez.

Örneğin 1/2 ile 1/8 kesirlerinden hangisi büyüktür? Paydalara bakınca 8 sayısı 2'den büyük olduğu için 1/8'in büyük olduğu düşünülebilir. Oysa gerçek tam tersidir: 1/2 daha büyüktür.

Nedenini anlamak için paydanın ne anlattığını hatırlayalım.

Durum 1: Paydaları Eşit Kesirler

Bu en kolay durumdur. Paydalar eşitse bütünler aynı sayıda parçaya bölünmüş demektir. Yani her parçanın büyüklüğü aynıdır. O halde daha çok parça alan daha çok almış olur.

Kural: Paydaları eşit olan kesirlerden payı büyük olan daha büyüktür.

Bunu pizzayla düşünelim. İki orta boy pizzanız var, ikisi de 4 dilime bölünmüş. Birinci pizzadan 1 dilim, ikinci pizzadan 3 dilim yendi. Dilimler aynı büyüklükte olduğuna göre, 3 dilim yiyen daha çok yemiştir.

Yani: 3/4 > 1/4

Örnek sıralama: 2/9, 5/9, 7/9, 8/9 kesirleri küçükten büyüğe zaten sıralıdır çünkü paydaları aynı, payları artıyor.

Durum 2: Payları Eşit Kesirler

Bu durumda aynı sayıda parça alınmıştır ama parçaların büyüklüğü farklıdır. Çünkü paydalar farklıysa bütünler farklı sayıda parçaya bölünmüştür.

Burada devreye ilk baştaki mantık girer: küçük payda, az sayıda parça, büyük parçalar demektir.

Kural: Payları eşit olan kesirlerden paydası küçük olan daha büyüktür.

Yine pizzayla: iki pizzadan da 1'er dilim yediniz. Ama birinci pizza 3 dilime, ikinci pizza 8 dilime bölünmüş. Hangi dilim daha büyüktür? Elbette 3'e bölünenin dilimi.

Yani: 1/3 > 1/8

Örnek sıralama: 5/12, 5/9, 5/6, 5/4 kesirleri küçükten büyüğe sıralıdır çünkü payları aynı, paydaları küçülüyor.

Şimdi Kendin Dene

Kesir karşılaştırmasını gerçekten kavramanın yolu, iki kesri model olarak yan yana koyup gözle görmektir. Aşağıdaki araçla farklı kesirler oluşturup hangisinin daha çok yer kapladığını kendin karşılaştırabilirsin.

Durum 3: Hem Payları Hem Paydaları Farklı

Bu durumda doğrudan karşılaştırma yapamayız. Önce kesirleri ortak bir zemine getirmemiz gerekir. İki yol vardır.

1. Yol: Paydaları eşitleme

Genişletme yaparak her iki kesrin paydasını aynı sayıya getiririz. Sonra Durum 1'deki kurala göre payları karşılaştırırız.

Örnek: 2/3 ile 3/4 kesirlerinden hangisi büyüktür?

• Ortak payda seçelim: 12 (hem 3'ün hem 4'ün katı)
• 2/3 kesrini 4 ile genişletelim: 8/12
• 3/4 kesrini 3 ile genişletelim: 9/12
• Paydalar eşit oldu, payları karşılaştıralım: 9 > 8
• Sonuç: 3/4 > 2/3

2. Yol: Payları eşitleme

Bazen payları eşitlemek daha kolaydır. Sonra Durum 2'deki kurala göre paydaları karşılaştırırız.

Örnek: 2/7 ile 3/8 kesirlerinden hangisi büyüktür?

• Ortak pay seçelim: 6
• 2/7 kesrini 3 ile genişletelim: 6/21
• 3/8 kesrini 2 ile genişletelim: 6/16
• Paylar eşit, paydası küçük olan büyüktür: 16 < 21
• Sonuç: 3/8 > 2/7

Sayı Doğrusunda Kesirler

Kesirleri karşılaştırmanın en görsel yolu sayı doğrusudur. Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür.

Kesirleri sayı doğrusunda göstermek için:

1. 0 ile 1 arasını, paydanın gösterdiği kadar eş parçaya bölün
2. Payın gösterdiği kadar parça sayarak ilerleyin

Örneğin 3/5 kesrini göstermek için 0 ile 1 arasını 5 eş parçaya böler, soldan 3 parça sayarsınız.

Bu yöntemin güzel yanı şudur: birden fazla kesri aynı doğru üzerinde gösterdiğinizde sıralama kendiliğinden ortaya çıkar. En solda kalan en küçük, en sağda kalan en büyüktür.

Kesir çeşitleri sayı doğrusunda nerede durur?

• Basit kesirler her zaman 0 ile 1 arasındadır
• Bileşik ve tam sayılı kesirler her zaman 1'in sağındadır

Bu bilgi hızlı karşılaştırma yapmayı sağlar: bir kesir basit, diğeri bileşikse hesap yapmaya gerek yok — bileşik olan büyüktür.

Örnek Sorular

Örnek 1

Soru: 3/7, 5/7, 1/7, 6/7 kesirlerini büyükten küçüğe sıralayınız.

Çözüm: Paydalar eşit olduğu için payları karşılaştırmak yeterli. Büyükten küçüğe: 6/7 > 5/7 > 3/7 > 1/7.

Örnek 2

Soru: 4/5, 4/9, 4/7, 4/3 kesirlerini küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Paylar eşit olduğu için paydası büyük olan küçüktür. Küçükten büyüğe: 4/9 < 4/7 < 4/5 < 4/3.

Örnek 3

Soru: 5/6 ile 7/9 kesirlerinden hangisi büyüktür?

Çözüm: Ortak payda 18 olsun. 5/6 kesrini 3 ile genişletelim: 15/18. 7/9 kesrini 2 ile genişletelim: 14/18. 15 > 14 olduğuna göre 5/6 daha büyüktür.

Örnek 4

Soru: 3/□ > 3/8 ifadesinin doğru olabilmesi için kutucuğa yazılabilecek doğal sayıları bulunuz.

Çözüm: Paylar eşit. Bir kesrin büyük olması için paydasının küçük olması gerekir. Yani kutucuktaki sayı 8'den küçük olmalı: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (Payda 0 olamaz.)

Örnek 5

Soru: "Kesirleri sıralarken pay ve payda toplamı büyük olan kesir her zaman daha büyüktür." Bu cümle doğru mudur?

Çözüm: Yanlıştır. Örnek verelim: 1/2 kesrinde toplam 3, 1/100 kesrinde toplam 101'dir. Toplamı büyük olan 1/100'dür ama değeri çok daha küçüktür. Sıralamada sayıların toplamı değil, kesrin ifade ettiği miktar önemlidir.

Sık Sorulan Sorular

Ortak paydayı nasıl seçerim?

En pratik yol, paydaların ortak katlarından birini seçmektir. 3 ve 4 için 12, 5 ve 6 için 30 gibi. Paydaları birbiriyle çarpmak da her zaman işe yarar ama bazen gereksiz büyük sayılar çıkarır.

Karşılaştırma yaparken hep hesap yapmak zorunda mıyım?

Hayır. Bazı hızlı kontroller vardır: biri 1'den küçük diğeri 1'den büyükse hesap gerekmez. Ya da biri 1/2'den büyük diğeri küçükse yine hesaba gerek kalmaz. Bu tür karşılaştırmalar zamanla kazanılır.

Denk kesirler sıralamada nasıl davranır?

Denk kesirler eşittir, aralarında büyüklük ilişkisi yoktur. 2/4 ile 1/2 karşılaştırıldığında ikisi de aynı noktayı gösterir. Bu yüzden sıralama sorularında önce kesirleri sadeleştirmek işi kolaylaştırır.